単曲線の計算や公式とは？交角の求め方や偏角の計算式まるっと解説

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単曲線（円曲線）の設置について、計算や公式を解説しました。

単曲線の設置をカーブセッティングとも呼ぶよ

交角の求め方や偏角の計算式についてもぜひ例題を解いてみてください。

それではさっそく参りましょう、ラインナップは目次からどうぞ 🙂

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単曲線の計算や公式とは？交角の求め方や偏角の計算式まるっと解説

単曲線の公式と記号

単曲線の計算ができるようになるには、まず公式と各部の記号をしっかり覚えましょう。

単曲線の公式

TL=Rtan(I/2)

CL=RI×π/180°

SL=R(1/( cos(I/2)-1)=√(TL²+R²)-R

記号	意味
BC（Beginning of Curve）	円曲線始点
EC（End of Curve）	円曲線終点
IP（Intersection Point）	交点
R（Radius of Curve）	半径
I（Intersection Angle）	交角
O（Origin）	中心点
BP（Beginning Point）	路線始点
EP（End Point）	路線終点
TL（Tangent Length）	接線長
CL（Curve Length）	曲線長
SL（Secant Length）	外割長

道路などの一般的な平面線形は、直線部か曲線部によって構成され、異なる方向の直線を1つの曲線によって接続する曲線を【単曲線（円曲線）】と呼びます。

【単曲線】はコンパスで描く単純な円の一部、つまり円弧のことです。

単曲線の性質と偏角法による公式

単曲線の性質を覚えておくと、計算スピードも上がるのでおすすめです。

単曲線の性質

接線（TL）が半径（R）と交わる角度は90°
単曲線の内角は交角（I）と等しい
∠IP-O-BCは、交角の半分（I/2）
∠IP-BC-EC(IP-EC-BC）は交角の半分（I/2）
∠BC-IP-Oは（180°-I）/2
∠BC-EC間の距離（L:長弦）はL=2RsinI/2

一方、偏角とは単曲線の接線と円弧上の任意の点P（BC-P）に挟まれた角δのことを指します。（図解参照）

ココでℓ（BC⌒P）を弧長、C（BC-P）を弦長とすると、

①ℓ=2δR（rad）

②C=2Rsinδ

と表すことができます。

実際には弧長ℓから偏角を求め、この偏角から弦長Cを求めて測設します。

①の式を変形すると、δ=ℓ/2R×180°/πとなり、偏角δを求める式となります。

偏角の公式

偏角δ=ℓ/2R×180°/π

弧長ℓ=2δR（rad）

弦長C=2Rsinδ

単曲線の計算問題（測量士補過去問）

それではさっそく、単曲線の計算問題をやってみましょう。

問題は測量士補の過去問です。

また単曲線のほか、測量士補の試験には座標法による面積計算も出ますので、ぜひチェックしてみてください。

①単曲線の計算問題（交角や路線長）

図に示すように、曲線半径R=420m、交角α=90°で設置されています。

点Oを中心とする単曲線（円曲線）から成る現在の道路を改良し、点O’を中心とする単曲線（円曲線）から成る新しい道路を建設することになりました。

新道路の交角β=60°としたとき、新道路BC～EC’の路線長はいくらか、次の選択肢から選びなさい。

440m
659m
727m
743m
761m

ただし、新道路の起点BCおよび交点IPの位置は現道路と変わらないものとし、円周率π=3.14とします。

【解答】

まずは現道路のTL（BC～IP）を計算します。

①TL=R×tan(I/2)=420×tan(90°/2)=420m×1=420m

つづいて、新道路の交角が60°となった場合の曲線半径R’（BC～O’）を求めましょう。

②TL=R’×tan(I/2)より、R’=TL/（tan(I/2))=420/（tan(60/2)=420/tan30°

=420/0.57735=727.462m

最後に新道路のBC～EC’(CL)を求めます。

CL=RI×(π/180°)=727.462×60×3.14/180°

=727.462×3.14/3=2284.231/3=761.410≒761m

解答5（761m）

②単曲線の計算問題（路線延長）

上記の図1に示すように、点Oから5つの方向に直線道路が延びています。

直線AOの距離は400m、点Aにおける点Oの方位角は120°であり、直線BOの距離は300m、点Bにおける点Oの方位角は190°です。

点Oの交差点を図2に示すように環状交差点に変更することを計画しています。

環状の道路を点Oを中心とする半径R=20mの円曲線とする場合、直線AC、最短部分の円曲線CD、直線BDを合わせた路線延長はいくらでしょう。

最も近いものを以下から選びなさい。ただし、円周率π=3.142とします。

584.4m
677.5m
684.4m
686.2m
724.4m

【解答】

ポイントとしては、問題文に書かれた数値を図に入れていくと分かりやすくなります。

まずはAC,BDの長さを求めましょう。

AC=400-20=380m

BD=300-20=280m

次に交角（I）を求めます。

下図のように、円の中心をOとした場合のBCをC点、ECをD点と考えれば、交角Iは単曲線の性質から∠AOB（∠COD）と同じになります。

次に∠AOBの大きさを求めます。

まず点Oから点Aの方位角を考えると120°+180°=300°

点Oから点Bへの方位角は190°+180°-360°=10°

よって∠AOB=（360°-300°）+10° =70°となります。

続いて曲線長CDを求めます。

単曲線の曲線長（CL）は、CL=RI°×π/180°により求められます。

よって曲線長CDの長さは、20m×70°（π/180°）=（20×70×3.142）/180≒24.438m

したがってAC～CD～BDの路線長は、

380m+280m+24.438m=684.438mとなり、最も近い答えは3となります。

解答3（684.4m）

③単曲線の計算問題（偏角）

図に示すように、起点をBP,終点をEPとし、始点BC、終点EC、曲線半径R=200m、交角I=90°で、点Oを中心とする円曲線を含む新しい道路建設のために中心測量を行い、中心杭を起点BPをNo.0として20mごとに設置することとします。

このとき、BCniおける交点IPからの中心杭No.15の偏角δはいくらか、最も近いものを次から選びなさい。

19°
25°
33°
35°
57°

ただし、BP～BC、EC～EP間は直線で、IPの位置はBPから270m、EPから320mとし、円周率はπ=3.14とします。

【解答】

単曲線の偏角公式δ=ℓ/2R×180°/πより、問題文中に与えられていないℓを求める必要があります。

ここで、偏角公式のℓは、BC（曲線始点）から偏角を求める点までの弧長を表しているため、まずBCの位置を求め、次にBCから中心杭No.15までの弧長を求め、最後に変革を計算すればOKです。

BCの位置は、BP-IPからBC-IP（TL）を引くことにより求められるため、TLを求めると次のようになります。

TL=R×tan(I/2)=200×tan（90°/2）=200×tan45°=200m

よってBPからみたBCの位置は270-200=70mとなり、20m間隔で設置される中心杭のナンバーではNo.3+10mとなります。

つづいて弧長ℓを求めます。

中心杭No.15までの弧長は、

No.15-（No.3+10m）=（20m×15）-｛（20m×3）+10m}=300-70=230m

そしてBCからNo.15までの変革を求めます。

δ=ℓ/2R×180°/π=230/2×200×180°/3.14=32.962°=32°57’43”

したがって、BCにおける交点（IP）からδ（中心杭No.15への偏角）の最も近い選択肢は3となります。

解答3（33°）

単曲線の計算や公式とは？交角の求め方や偏角の計算式まるっと解説まとめ

単曲線の公式

TL=Rtan(I/2)

CL=RI×π/180°

SL=R(1/( cos(I/2)-1)=√(TL²+R²)-R

記号	意味
BC（Beginning of Curve）	円曲線始点
EC（End of Curve）	円曲線終点
IP（Intersection Point）	交点
R（Radius of Curve）	半径
I（Intersection Angle）	交角
O（Origin）	中心点
BP（Beginning Point）	路線始点
EP（End Point）	路線終点
TL（Tangent Length）	接線長
CL（Curve Length）	曲線長
SL（Secant Length）	外割長

単曲線の性質

接線（TL）が半径（R）と交わる角度は90°
単曲線の内角は交角（I）と等しい
∠IP-O-BCは、交角の半分（I/2）
∠IP-BC-EC(IP-EC-BC）は交角の半分（I/2）
∠BC-IP-Oは（180°-I）/2
∠BC-EC間の距離（L:長弦）はL=2RsinI/2

偏角の公式

偏角δ=ℓ/2R×180°/π

弧長ℓ=2δR（rad）

弦長C=2Rsinδ

以上です。

ありがとうございました。