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材料工学公式集★一覧表でかんたんまるわかり

材料工学公式集

こんにちは、技術系ブロガーちゃんさとです。

 

今回のテーマは【材料工学における公式】

材料工学で出てくる公式をまとめましたので参考にしてください。

それではさっそく参りましょう、ラインナップは目次からどうぞ 🙂

 

材料工学公式一覧表

応力とひずみ

名称 公式 定義
応力 σ=P/A σ=応力、P=内力、A=断面積
せん断応力 τ=P/A τ=せん断力、P=内力、A=断面積
縦ひずみ(引張ひずみ) ε=δ/l ε=縦ひずみ、δ=変形量(伸び)、l=長さ
横ひずみ(圧縮ひずみ) ε’=-ε’/d ε’=横ひずみ、d=幅
ポアソン比 ν=|ε’/ε| ν=ポアソン比

縦ひずみと横ひずみの比は材料の種類ごとに一定

せん断ひずみ γ=δ/l γ=せん断ひずみ、δ=変形量、l=長さ

フックの法則や公称応力

荷重ー伸び線図

名称 公式 定義
①フックの法則 σ=Eε σ=垂直応力、E=ヤング率、ε=垂直ひずみ
②フックの法則 τ=Gγ τ=せん断応力、G=せん断弾性係数、γ=せん断ひずみ
③フックの法則 P=Kεv P=部材が一様な圧力、K=体積弾性率、εv=体積ひずみ
公称応力 σn=P/A₀ σn=公称応力、P=荷重、A₀=断面積(変形前)

破断における荷重Pを破断前の断面積で割ったもの

公称ひずみ εn=δ/l₀ εn=公称ひずみ、δ=変形量(伸び)、l₀=長さ(変形前)
真応力 σt=P/A σt=真応力、P=荷重、A=断面積

荷重が作用して物体が伸びたとき、断面積が減少することを考慮した応力

ひずみ(微小増加量) dε=dl/l dε=ひずみ(微小増加量)、d=幅、ⅼ=長さ(標点距離)
破断の伸び率 Φ=(l’-l)/l×100% Φ=破断の伸び率、l’=破断後の長さ、ⅼ=長さ(標点距離)
破断の絞り φ=(A-A’)/A×100% φ=破断の絞り、A=標点間の元の断面積、A’=破断後の最小断面積

許容応力と安全率

名称 公式 定義
安全率 S=σs/σa S=安全率、σs=材料の基準となる強さ、σa=許容応力
許容応力 σa=σs/S σa=許容応力、S=安全率、σs=材料の基準となる強さ

 

 

引張・圧縮

断面変化の荷重作用

名称 公式 定義
微小部分の伸び(断面が変化する棒) dδ=P/EAxdx dδ=微小部分の伸び、P=引張または圧縮荷重、Ax=x地点における断面積
熱による伸び δ=αⅼt δ=熱による伸び、α=線膨張係数、ⅼ=棒材の長さ、t=上昇(下降)温度
熱応力 σ=-Eαt σ=熱応力、E=ヤング率、α=線膨張係数、ⅼ=棒材の長さ、t=上昇(下降)温度

 

はり

荷重の状態

単純ばり

集中荷重P

単純ばり

等分布荷重w

単純ばり(等分布荷重)

端部曲げモーメント M=0 M=0
中央部曲げモーメント M=P×(L/4) M=w×(L²/8)
せん断力 Q=P/2 Q=w×L/2
変形 δ=PL³/48EI δ=5wL⁴/384EI
たわみ θ=PL²/16EI θ=wL³/24EI
荷重の状態

片持ちばり

集中荷重P

片持ちばり

等分布荷重w

片持ちばり(等分布荷重)

端部曲げモーメント M=P×L M=w×(L²/2)
中央部曲げモーメント
せん断力 Q=P Q=w×L
変形 δ=PL³/3EI δ=wL⁴/8EI
たわみ θ=PL²/2EI θ=wL³/6EI
荷重の状態

両端固定ばり

集中荷重P

両端固定ばり

等分布荷重w

両端固定ばり(等分布荷重)

端部曲げモーメント M=P×(L/8) M=w×(L²/12)
中央部曲げモーメント M=P×(L/8) M=w×(L²/12)
せん断力 Q=P/2 Q=w×L/2
変形 δ=PL³/192EI δ=wL⁴/384EI
たわみ θ=0 θ=0

 

ねじり

名称 公式 定義
せん断ひずみ γ=rΦ/l γ=せん断ひずみ、r=丸軸の中心からの位置、Φ=ねじれた角、ⅼ=丸軸の長さ
比ねじれ角 θ=Φ/l θ=比ねじれ角、Φ=ねじれた角、ⅼ=丸軸の長さ
ねじり応力 τ=Gγ=Grθ τ=ねじり応力、G=丸棒の横弾性係数、γ=せん断ひずみ、r=丸軸の中心からの位置、θ=単位長さ当たりのねじれ角
ねじり剛性 GIp=T/θ GIp=ねじり剛性、Ip=断面二次モーメント、T=ねじりモーメント、θ=比ねじれ角
極断面係数 Zp=πd³/16 Zp=極断面係数、d=幅
断面二次極モーメント Ip=∫r²dA Ip=断面二次極モーメント、r=半径、d=幅
動力(伝導軸) H=Tω H=動力(伝導軸)、T=ねじりモーメント、ω=角速度
楕円形断面軸のねじり(最大) τmax=2T/πab² τmax=楕円形断面軸のねじり(最大)、τmin=楕円形断面軸のねじり(最小)、T=ねじりモーメント、a=楕円形の横幅半径、b=楕円形の縦幅半径

楕円形ねじり応力分布

楕円形断面軸のねじり(最小) τmin=2T/πa²b
長方形断面軸のねじり(最大) τmax=T/K₁ab² τmax=長方形断面軸のねじり(最大)、τ₂=長方形断面軸のねじり(短辺に沿う)、K₁=係数(表1参照)、K₂=係数(表1参照)、T=ねじりモーメント、a=長方形の幅、b=長方形の高さ

長方形ねじり応力分布

長方形断面軸のねじり(短辺に沿う) τ₂=K₂τmax
長方形断面軸の比ねじり角 θ=T/K₃ab²G θ=長方形断面軸の比ねじり角、K₃=係数(表1参照)

 

表1:長方形断面軸のa/bとK₁、K₂、K₃の値

a/b K₁ K₂ K₃
1.0 0.208 1.000 0.141
1.25 0.221 0.916 0.172
1.5 0.231 0.859 0.196
2.0 0.246 0.795 0.229
3.0 0.267 0.753 0.263
4.0 0.282 0.745 0.281
5.0 0.290 0.744 0.290
6.0 0.299 0.743 0.299
8.0 0.307 0.742 0.307
10.0 0.312 0.742 0.312
0.333 0.742 0.333

 

座屈

名称 公式 定義
長柱の座屈荷重(オイラーの式) Pcr=Kπ²EI/ⅼ² E=ヤング率、I=断面二次モーメント、ⅼ=長柱の長さ、K=固定係数
細長比 λ=ⅼ√(A/KI) I=断面二次モーメント、ⅼ=長柱の長さ、K=固定係数、A=断面積
許容座屈荷重 Ps=K/S×π²EI/ⅼ² I=断面二次モーメント、ⅼ=長柱の長さ、K=固定係数、S=安全率

長柱の種類

名称 固定係数K
一端固定、他端自由

一端固定、他端自由の長柱

1/4
両端回転自由

両端回転自由の長柱

1
両端固定

両端固定の長柱

4
一端固定、他端回転

一端固定、他端回転の長柱

2.046

 

断面特性

断面の形 断面二次モーメント【Iy】 固定係数k² 断面係数Z
断面特性(四角形) 1/12bh³ 1/12h²

k=0.289h

1/6bh²
断面特性(三角形) 1/36bh³ 1/18h²

k=0.236h

e₁=1/3h、e₂=2/3h、Z₁=1/12bh²、Z₂=1/24bh²
断面特性(円) π/64d⁴ 1/16d² π/32d³
断面特性(二重円) π(d₂⁴ーd₁⁴) 1/16(d₂²+d₁²) (π/32)×(d₂⁴ーd₁⁴)/d₂
断面特性(楕円) π/4a³b 1/4a² π/4a²b
断面特性(T型断面) {ad³-h³(a-t)}/12 {ad³-h³(a-t)}/12{ad-h(a-t)} {ad³-h³(a-t)}/6d

 

 

以上です。

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ありがとうございました。

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