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公務員試験|数学の範囲と公式!基本をマスター合格への道

数学公式

こんにちは、元公務員のちゃんさとです。

今回のテーマは【公務員試験における数学の範囲と公式】

一度習った分野とはいえ、学び直しをしないとスピーディーに問題を解くことはできません。

そんなわけで、数学の基本をマスターし、公務員試験を突破していきましょう 🙂

それではさっそく参りましょう、ラインナップは目次からどうぞ!

 

公務員試験★数学の範囲と公式

公務員試験の数学では、主に中学から高校で習った問題が出されます。(※一部大学数学もあり)

問題の難易度は種別によってさまざまですが、基本は素直な問題が多く、公式をしっかり覚えておけば解ける問題です。

数学基本公式の項目をまとめるとこんな感じ 🙂

数学基本公式

  1. 円の方程式
  2. 2次方程式の解
  3. 三角関数(基本)
  4. 三角関数(加法定理)
  5. 三角関数(倍角公式)
  6. 双曲線関数
  7. オイラーの公式
  8. 代表的な関数の微分
  9. 代表的な関数の不定積分
  10. 行列式
それぞれ確認していきましょう

1.円の方程式

中心の座標を(a,b)、半径がrとすると、

(x-a)²+(y-b)²=r²

の式が成り立ちます。

 

2.2次方程式の解

a,b,cが実数でa≠0のとき、ax²+bx+c=0の解は、

x=(-b±√(b²-4ac)×(1/2a)

 

3.三角関数(基本)

sinθ=y/r、cosecθ=1/sinθ=r/y

cosθ=x/r、secθ=1/cosθ=r/x

tanθ=y/x、cotθ=1/tanθ=x/y

sin²θ+cos²θ=1

 

4.三角関数(加法定理)

加法定理を使えば、異なる角度を合成した三角関数を求めることができます。

±の順に気を付けてくださいね。

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

cos(α∓β)=cosαsinβ∓sinαcosβ

tan(α±β)=(tanα±tanβ)/1∓tanαtanβ

sinα+sinβ=2cos((α+β)/2)sin((α-β)/2)

cosα+cosβ=2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2)

cosα-cosβ=-2sin((α+β)/2)sin((α-β)/2)

 

5.三角関数(倍角公式)

sin²θ=(1-cos2θ)/2

cos²θ=(1+cos2θ)/2

sin2θ=2sinθcosθ

cos2θ=2cos²θ-1=1-2sin²θ

 

6.双曲線関数

双曲線関数は高校数学では習いませんが、双曲線関数を背景とした公務員試験の問題は複数あり,双曲線関数の定義と基本的な性質を知っていれば見通しがよくなることがあります。

sinhx=(e^x-e^-x)/2

coshx=(e^x+e^-x)/2

tanhx=sinhx/coshx=(e^x-e^)/(e^x+e^)

cothx=coshx/sinhx

sechx=1/cothx

cosechx=1/sinhx

sinh(-x)=-sinhx

cosh(-x)=coshx

tanh(-x)=-tanhx

cosh²x-sinh²x=1

 

coshcosh の読み方は「ハイパボリックコサイン」

sinhsinh の読み方は「ハイパボリックサイン」

tanhtanh の読み方は「ハイパボリックタンジェント」

 

7.オイラーの公式

オイラーの公式とは、ネイピア数 e と三角関数 sinθ・cosθ (弧度法)の間に成り立つ以下の関係式のことです。

e^ix=cosx+isinx

e^-ix=cosx-isinx

 

8.代表的な関数の微分

y=x^n→y’=nx^n-1

y=e^mx→y’=e^mx×(mx)’=me^mx

y=logeX(x>0)→y’=1/x×(x)’=1/x

y=sinmx→y’=mcosmx

y=cosmx→y’=-msinmx

y=tanmx→y’=msec²mx=m×1/cos²mx

 

9.代表的な関数の不定積分

∫1/Xdx=logeX=1nX(X>0)

∫(1/a+bx)dx=1/b×loge(a+bx)=1/b×1n(a+bx) (a+bx>0)

∫X^ndx=X^(n+1)/n+1 (n≠-1)

∫e^mxdx=e^mx/m (m≠0)

∫sinmxdx=-1/m×cosmx (m≠0)

∫cosmxdx=1/m×sinmx (m≠0)

∫sin²xdx=x/2-1/4sin2x (sin²x=1-cos2x/2の積分)

∫cos²xdx=x/2+1/4sin2x (cos²x=1+cos2x/2の積分)

∫xsinxdx=sinx-xcosx (部分積分法)

∫xcosdx=cosx+xcosx (部分積分法)

 

10.行列式

①行列A= の行列式|A|は、

|A|=ad-bc

 

②行列A=の行列式|A|は、

|A|=a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂-a₁₃a₂₂a₃₁-a₁₁a₂₃a₃₂-a₁₂a₂₁a₃₃(サラスの公式)

 

まとめ

数学の公式いろいろ

公務員試験の数学公式

円の方程式 中心の座標を(a,b)、半径がrとすると、(x-a)²+(y-b)²=r²
2次方程式の解 a,b,cが実数でa≠0のとき、ax²+bx+c=0の解は、x=(-b±√(b²-4ac)×(1/2a)
三角関数(基本) sinθ=y/r、cosecθ=1/sinθ=r/y

cosθ=x/r、secθ=1/cosθ=r/x

tanθ=y/x、cotθ=1/tanθ=x/y

sin²θ+cos²θ=1

三角関数(加法定理) sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

cos(α∓β)=cosαsinβ∓sinαcosβ

tan(α±β)=(tanα±tanβ)/1∓tanαtanβ

sinα+sinβ=2cos((α+β)/2)sin((α-β)/2)

cosα+cosβ=2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2)

cosα-cosβ=-2sin((α+β)/2)sin((α-β)/2)

三角関数(倍角公式) sin²θ=(1-cos2θ)/2

cos²θ=(1+cos2θ)/2

sin2θ=2sinθcosθ

cos2θ=2cos²θ-1=1-2sin²θ

双曲線関数 sinhx=(e^x-e^-x)/2

coshx=(e^x+e^-x)/2

tanhx=sinhx/coshx=(e^x-e^)/(e^x+e^)

cothx=coshx/sinhx

sechx=1/cothx

cosechx=1/sinhx

sinh(-x)=-sinhx

cosh(-x)=coshx

tanh(-x)=-tanhx

cosh²x-sinh²x=1

オイラーの公式 e^ix=cosx+isinx

e^-ix=cosx-isinx

代表的な関数の微分 y=x^n→y’=nx^n-1

y=e^mx→y’=e^mx×(mx)’=me^mx

y=logeX(x>0)→y’=1/x×(x)’=1/x

y=sinmx→y’=mcosmx

y=cosmx→y’=-msinmx

y=tanmx→y’=msec²mx=m×1/cos²mx

代表的な関数の不定積分 ∫1/Xdx=logeX=1nX(X>0)

∫(1/a+bx)dx=1/b×loge(a+bx)=1/b×1n(a+bx) (a+bx>0)

∫X^ndx=X^(n+1)/n+1 (n≠-1)

∫e^mxdx=e^mx/m (m≠0)

∫sinmxdx=-1/m×cosmx (m≠0)

∫cosmxdx=1/m×sinmx (m≠0)

∫sin²xdx=x/2-1/4sin2x (sin²x=1-cos2x/2の積分)

∫cos²xdx=x/2+1/4sin2x (cos²x=1+cos2x/2の積分)

∫xsinxdx=sinx-xcosx (部分積分法)

∫xcosdx=cosx+xcosx (部分積分法)

行列式

|A|=ad-bc

|A|=a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂-a₁₃a₂₂a₃₁-a₁₁a₂₃a₃₂-a₁₂a₂₁a₃₃(サラスの公式)

 

以上です。

公務員試験、がんばってください!

ありがとうございました。

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